Resistências em série e em paralelo

Introdução

Na área da electrotecnia, uma das matérias básicas que aprendemos são circuitos de corrente contínua com resistências em série e em paralelo. Para começar, recordemos que num circuito básico temos uma fonte de tensão contínua, uma resistência total e uma corrente eléctrica.

Quando temos circuitos com várias resistências em série, em paralelo, ou série e paralelo, é importante sabermos como obter uma resistência equivalente, de forma podermos calcular outras grandezas como a tensão ou a corrente.

Resistências em série

Vamos então começar com um circuito de resistências em série. Na figura temos “n” resistências com os valores R1, R2, R3, … e Rn.

Para determinar a resistência equivalente, fazemos o somatório dos valores de todas as resistências:

$$R_{eq} = ∑↙{i=1}↖n R_i = R_1 + R_2 + … + R_{n-1} + R_n (Ω)$$

Isto é, se tivermos, por exemplo, um circuito série com 3 resistências: R1 = 8Ω ; R2 = 4Ω e R3 = 10Ω

Teremos que, a resistência equivalente será dada por:

$$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = 8 + 4 + 10 = 22Ω$$

Ou seja, poderíamos ter um circuito com apenas uma resistência (Req) no valor de 22Ω, como mostra a figura ao lado.

Agora, será mais fácil determinar uma das outras grandezas. Imagine-se que o circuito é alimentado por uma tensão de 44V e queríamos determinar o valor da corrente. Bastaria então, aplicar a lei de Ohm:

$$U=R.I⇔I = U/R = 44/22 = 2A$$

Num circuito série, temos ainda que:

– A corrente I que atravessa cada resistência é sempre igual. Se tivermos “n” resistências, temos que:

$$I = I_1 = I_2 = I_3 = … = I_{n-1} = I_n$$

– A tensão aplicada ao circuito é igual à soma das quedas de tensão em cada resistência.

$$U = ∑↙{i=1}↖n U_i = U_1 + U_2 + … + U_{n-1} + U_n (V)$$

Isto quer dizer que, em cada resistência vamos ter uma queda de tensão que será igual ao valor dessa resistência vezes a corrente que a atravessa, a qual sabemos que é sempre igual e de valor I.

Se considerarmos o exemplo atrás, teremos as seguintes quedas de tensão:

• U₁ = R₁ × I = 8 × 2 = 16V
• U₂ = R₂ × I = 4 × 2 = 8V
• U₃ = R₃ × I = 10 × 2 = 20V

Se somarmos as quedas de tensão, temos que: 16 + 8 + 20 = 44V!

(Note que também é muito comum representar uma queda de tensão por ΔU, pelo que neste caso teríamos ΔU₁, ΔU₂ e ΔU₃)

Resistências em paralelo

 

No caso de um circuito com resistências em paralelo, as contas são bem diferentes e a resistência equivalente é dada por:

$$1 / R_{eq} = ∑↙{i=1}↖n 1/ R_i =1/ R_1 +1/ R_2 + … + 1/R_{n-1} + 1/R_n (Ω)$$

Isto é, o inverso da resistência equivalente é igual à soma dos inversos das resistências.

Consideremos agora que temos um circuito com três resistências em paralelo de valores iguais às que usámos em série, isto é: R1 = 8Ω ; R2 = 4Ω e R3 = 10Ω

A resistência equivalente será dada por:

$$1/R_{eq}=1/8 + 1/4 + 1/10 ⇔ 1/R_{eq}=19/40 ⇔ R_{eq} = 40/19 ≈2,1Ω$$

Repare que a resistência equivalente é menor que o valor da resistência mais baixa no circuito!

Se mantivéssemos a mesma tensão de entrada do exemplo série, 44V, repare no valor da corrente agora para o caso do paralelo:

$$U=R.I⇔I = U/R = 44/2,1 ≈ 20,9A$$

Comparando com a corrente do circuito série, esta é mais de 10X maior! O facto explica-se bem se verificarmos que, quando temos um circuito série, temos a resistência equivalente igual à soma das resistências e, no circuito paralelo, temos o inverso da resistência equivalente igual à soma dos inversos das resistências, o que conduz a um valor muito mais baixo.

Como a corrente é inversamente proporcional à resistência, menos resistência implica mais corrente! Vejamos também como se comportam as correntes e as tensões num circuito paralelo.

– A corrente total do circuito é igual à soma das correntes que atravessam cada ramo das resistências. No esquema acima, é possível ver I1, I2, I3, … In… De facto, temos:

$$I= ∑↙{i=1}↖n I_i = I_1 + I_2 + … + I_{n-1} + I_n (A)$$

– A tensão aplicada é sempre igual às quedas de tensão em cada ramo do paralelo. Isto é:

$$U=U_1 = U_2 = … = U_{n-1} = U_n$$

Quer dizer que, no exemplo em paralelo, a queda de tensão em todas as resistências é igual e vale 44V.

Quanto às correntes, teremos:

$$I_1 = U / R_1 = 44 / 8 = 5,5A$$

$$I_2 = U / R_2 = 44 / 4 = 11A$$

$$I_3 = U / R_3 = 44 / 10 = 4,4A$$

Se somarmos os valores destas correntes, teremos então o valor de 20,9A.

Juntando as coisas com um exercício resolvido

Consideremos o circuito usado na apresentação deste artigo, mas agora com valores:

• R1 = 10Ω; R2 = 20Ω; R3 = 30Ω; R4 = 10Ω e R5 = 25Ω
• I = 5A

Pretendemos saber:

• O valor da tensão U
• O valor das correntes I3 (que atravessa R3) e I24 (que atravessa R2 e R4)
• A queda de tensão U4 na resistência R4

Vamos redesenhar o esquema de forma a evitar erros e a ajudar nos cálculos:

Temos então a resistência R1 em série com um paralelo e em série com R5. Vamos começar pelo paralelo, onde temos dois ramos. Um com a resistência R3 e outro com as resistências R2 e R4 em série.

– Série de R2 e R4:

$$R_{24} = R_2 + R_4 = 20Ω + 10Ω = 30Ω$$

 

– Paralelo R3 e R24:

$$1/R_{324} = 1/R_3 + 1/R_24 = 1/30 + 1/30 ⇔ 1/R_{324} = 2/30 ⇔ R_{324} = 30/2 = 15Ω$$

Repare que, como os valores das resistências no paralelo são iguais, o valor da resistência é metade¹.

– Finalmente, podemos determinar a resistência equivalente total:

$$R_{eq} = R_1 + R_{324} + R_5 = 10Ω + 15Ω + 25Ω = 50Ω$$

– A tensão U será então dada por:

$$U = R×I = 50 × 5 = 250V$$

– Sabemos que a queda de tensão em cada ramo de circuitos em paralelo é igual à tensão de entrada. Mas não podemos assumir que, neste caso, a queda de tensão nos ramos paralelos vai ser 250V! Repare que temos à mistura duas resistências em série com o paralelo, R1 e R5! Logo, teremos que determinar as quedas de tensão em R1 e R5! Para ajudar a compreender, imagine o esquema desenhado da seguinte forma:

Repare que o esquema é o mesmo, mas disposto de outra forma. Ignorando agora a questão da queda de tensão U4, verificamos que temos aqui 3 quedas de tensão a ter em conta: U1, U324 (do paralelo) e U5.

$$U_1 = R_1 × 5 = 10 × 5 = 50V$$

$$U_{324} = R_{324} × 5 = 15 × 5 = 75V$$

$$U_5 = R_5 × 5 = 25 × 5 = 125V$$

Verificando a soma das quedas de tensão:

$$U=U_1 + U_{324} + U_5 = 50V + 75V + 125V = 250V$$

Assim, já sabemos que a queda de tensão no paralelo é 75V e não 250V! Logo, podemos agora determinar as correntes:

$$I_3 = U_{324} / R_3 = 75/30 = 2,5A$$

$$I_{24} = U_{324} / R_{24} = 75/30 = 2,5A$$

Se reparar, temos que os valores das correntes são iguais em cada ramo! É estranho? Não, pois repare que como os dois ramos têm os valores das resistências iguais, a corrente vai-se dividir em partes iguais².

Finalmente, e como agora já sabemos que a corrente que atravessa as resistências R2 e R4 é de 2,5A, podemos determinar a queda de tensão em R4:

$$U_4 = R_4 × I_{24} = 10 × 2,5 = 25V$$

Este artigo foi escrito de acordo com a antiga grafia.

Notas:

1. Quando temos um circuito estritamente paralelo em que todas as resistências dos ramos são de valor igual a R, e considerando que temos “n” ramos paralelos, podemos simplificar o cálculo da resistência equivalente com a expressão:
   $$ R_{eq} = R / n$$
2. No mesmo caso, verifica-se que as correntes vão-se distribuir de forma igual por cada um dos “n” ramos, pelo que também podemos deduzir que, para cada ramo “i”, a corrente será sempre dada por:
   $$ I_i = I /n$$